Verkehrsschild-Größe neben einer Straße


Wenn Sie an einem Verkehrsschild vorbei fahren, gibt es einen Punkt, an dem Ihnen das Verkehrsschild am größten erscheint.

Bild "Wissenschaft:Verkehrsschild_Serie.jpg"
                Foto: Dirk Brunner; Lizenz: CC BY SA 3.0

Mathematisch formuliert lautet die Aufgabe: Bei welchem Abstand c (Beobachter-Verkehrsschild) erscheint beim fahren auf der Straße c ein Verkehrsschild a am größten? Der Abstand zur Straße ist b.

Skizze

(Ansicht von oben)

Bild "Bilder:MatheFormel041.gif"

Für den Betrachter erscheint das Verkehrsschild am größten, wenn α (alpha) am größten ist.

Es gilt: Bild "Bilder:MatheFormel029.gif"
Daraus folgt: Bild "Bilder:MatheFormel051.gif"

Finden der Extrema (Maximum oder Minimum) mit Hilfe der 1. Ableitung:
Bild "Bilder:MatheFormel028.gif"
Bild "Bilder:MatheFormel038.gif"


Für ein Extrema wird die 1. Ableitung auf Null gesetzt, woraus folgt:
Bild "Bilder:MatheFormel030.gif"


Nach Umformung und ausmultiplizieren (Nenner ungleich Null):
Bild "Bilder:MatheFormel004.gif"

Nach Kürzen:
Bild "Bilder:MatheFormel043.gif"

Lösung durch auflösen nach c

Bild "Bilder:MatheFormel046_big.gif"

Die Lösung lässt sich auf ähnliche Aufgaben übertragen. Denken Sie beispielsweise an eine Kamera neben einem Förderband, welche die Ware abtastet.

(Hinweise: Das Extrema ist ein Maximum, da bei durchschreiten des Extremas auf der c-Achse ein Vorzeichenwechsel von + ("bergauf") zu – ("bergab") stattfindet. Betrachten Sie dazu einfach die Randwerte der 1. Ableitung. Alternativ 2te Ableitung benutzen. Die Höhe des Schildes wurde nicht beachtet.)

Beispiel

a = 60cm
b = 3m (Senkrechter Abstand Auge zum Verkehrsschild)
Daraus folgt: c = 3,3m