Verkehrsschild-Größe neben einer Straße

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Wenn Sie an einem Verkehrsschild vorbei fahren, gibt es einen Punkt, an dem Ihnen das Verkehrsschild am größten erscheint.


Mathematisch formuliert lautet die Aufgabe: Bei welchem Abstand c (Beobachter-Verkehrsschild) erscheint beim fahren auf der Straße c ein Verkehrsschild a am größten? Der Abstand zur Straße ist b.

Skizze

(Ansicht von oben)



Für den Betrachter erscheint das Verkehrsschild am größten, wenn α (alpha) am größten ist.

Es gilt:
Daraus folgt:

Finden der Extrema (Maximum oder Minimum) mit Hilfe der 1. Ableitung:




Für ein Extrema wird die 1. Ableitung auf Null gesetzt, woraus folgt:



Nach Umformung und ausmultiplizieren (Nenner ungleich Null):


Nach Kürzen:

Lösung durch auflösen nach c

Die Lösung lässt sich auf ähnliche Aufgaben übertragen. Denken Sie beispielsweise an eine Kamera neben einem Förderband, welche die Ware abtastet.

(Hinweise: Das Extrema ist ein Maximum, da bei durchschreiten des Extremas auf der c-Achse ein Vorzeichenwechsel von + ("bergauf") zu – ("bergab") stattfindet. Betrachten Sie dazu einfach die Randwerte der 1. Ableitung. Alternativ 2te Ableitung benutzen. Die Höhe des Schildes wurde nicht beachtet.)

Beispiel

a = 60cm
b = 3m (Senkrechter Abstand Auge zum Verkehrsschild)
Daraus folgt: c = 3,3m