Optimale Lampenhöhe für maximale Beleuchtungsstärke berechnen


Eine Lampe soll über Punkt B (z.B. Esstisch) so aufgehängt werden, dass die Beleuchtungsstärke bei Punkt A (z.B. Tischrand) maximal ist. Damit wäre die optimale Lampenposition mit maximaler Helligkeit am Tischrand gefunden.
In welcher Höhe h über dem Tisch muss die Lampe aufgehängt werden?

Skizze

Bild "Bilder:BelStk_Skizze.jpg"

Die Beleuchtungsstärke ist proportional zu Bild "Bilder:BelStk_Formel_02.gif" und der projizierten Fläche Bild "Bilder:BelStk_Formel_08.gif" .
Somit gilt: Beleuchtungsstärke Bild "Bilder:MatheFormel023.gif" . k ist ein Proportionalitätsfaktor.

Weiterhin gilt: Bild "Bilder:BelStk_Formel_07.gif" .
Beleuchtungsstärke: Bild "Bilder:MatheFormel024.gif" .


Bilden der 1. Ableitung um das Maximum zu finden:
Bild "Bilder:MatheFormel002.gif" .


Damit die 1. Ableitung Null wird, muss der Zähler null sein.

Es folgt für das Extrema:

Bild "Bilder:BelStk_Formel_03.gif" .
(Hinweis: Das Extrema ist ein Maximum, da bei durchschreiten des Extremas auf der h-Achse ein Vorzeichenwechsel von + ("bergauf") zu – ("bergab") stattfindet. Alternativ 2te Ableitung benutzen.)

Daraus ergibt sich die optimale Lampenhöhe zu:

Bild "Bilder:BelStk_Formel_04_big.gif" .


Beispiel "Lampe über einem Tisch"

h = 70 cm über dem Tisch, wenn der Tisch einen Durchmesser von 2 Meter (a = 100 cm) besitzt.

Viel Spaß beim Lampe aufhängen.