Herleitung Helmholtz Spule für homogenes Magnetfeld


Bei einem Helmholtz-Spulenpaar ist mittig zwischen den Spulen das Magnetfeld besonders homogen. Wie zwei Spulen dafür angeordnet werden müssen wird nun hergeleitet und berechnet.

Skizze



N: Anzahl der Windungen einer Spule (N ist für beide Spulen gleich).
Mit dem Biot-Savart-Gesetz kann die magnetische Feldstärke für eine kreisförmige Leiterschleife berechnet werden und ist:


I: Stromstärke
x: Abstand zur Spule auf der symmetrieachse
Da die Spulen den gleichen Abstand zum Nullpunkt haben, folgt für beide Spulen:


Um die Lesbarkeit zu verbessern gilt:


Somit folgt:


Die erste Ableitung ist ein Maß für die Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Feldes. Im Nullpunkt sollte die erste Ableitung deshalb ein möglichst langes Plateau aufweisen.
Daraus folgt, dass die zweite Ableitung im Nullpunkt null sein soll.

1. Ableitung


2. Ableitung


Damit die 2. Ableitung null wird, muss der Zähler null werden.

Es folgt:

Die Anordnung des Helmholtz-Spulenpaares ist damit festgelegt.


Mit dieser Anordnung ist es beispielsweise möglich ein störendes Magnetfeld zu eliminieren.